MATERI KAPSEL SEMESTER 2

1.1  RELASI

Dalam matematika, relasi berfungsi untuk menyatakan suatu hubungan tertentu antara dua himpunan. Misalnya hubungan antara siswa dengan kegemarannya, hubungan orang tua dengan penghasilannya, hubungan anak dengan mainan kesukaannya, dan sebagainya

1.1.1Pengertian Relasi

Pada suatu hari di kelas VIII-A SMP “Asih Bangsa”, Aam, Ilham, Trisno, Lisda, dan Siti sedang membicarakan mata pelajaran yang mereka sukai di sekolah. Matematika, IPA, kesenian, olahraga, IPS, dan PPKn adalah beberapa mata pelajaran yang mereka sukai saat itu. Aam mengemari pelajaran IPA, kesenian dan olahraga. Ilham menggemari pelajaran matematika dan olahraga, Trisno menggemari pelajaran matematika dan IPA, Lisda gemar pelajaran PPKn dan kesenian, sedangkan Siti gemar pelajaran IPS dan olahraga. Jika kalian perhatikan, Aam, Ilham, Trino, Lisda, dan Siti merupakan himpunan siswa SMP. Sedangkan Matematika, IPA, kesenian, olahraga, IPS, dan PPKn merupakan himpunan mata pelajaran. Himpunan siswa mempunyai hubungan dengan himpunan mata pelajaran melalui “kegemaran”. Dengan demikian, kata “gemar” merupakan relasi yang menghubungkan antara himpunan siswa kelas VIII-A dengan mata pelajaran di sekolah.

Jadi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam beberapa cara, yaitu diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Perhatikan uraian berikut ini!

Rani, Dian, Isnie, dan Dila sedang berbincang-bincang di sebuah taman dekat sekolah. Mereka sedang membicarakan olahraga kegemarannya masing-masing. Rani menyukai olahraga bulu tangkis dan basket. Dian menyukai olahraga basket dan atletik, Isnie menyukai olahraga senam dan Dila menyukai olahraga basket dan tenis meja.

Misalkan himpunan P= {Rani, Dian, Isnie, Dila} dan Q= {Basket, Bulu Tangkis, Atletik, Senam, Tenis Meja}. Kata “menyukai” adalalah relasi yang menghubungkan himpunan P dan himpunan Q. Maka relasi tersebut dapat disajikan dalam bentuk berikut ini :

1.1.1.1  Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

Menyukai

 

                  P                                                  Q

1.1.1.2  Diagram Kartesius

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X ), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu-Y ). Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik seperti terlihat pada gambar.

Basket
Volly
Sepak bola
Bulu tangkis
	Rini	Dila	Isni	vera

1.1.1.2        Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah dan kartesius, sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Adapun cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.

CONTOH : 1.      Tentukanlah relasi yang dapat menghubungkan himpunan P ke himpunan Q berikut ini! P = {1, 2, 3, 4, 5} dan Q= {1, 4, 9, 16, 25} Penyelesaian: Relasi yang dapat menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q adalah “akar dari”.

1.1.2        Hasil Kali Kartesius

Dalam suatu relasi tentu saja terdapat dua buah himpunan yang dihubungkan dengan relasi tertentu dan dapat disajikan dalam bentuk himpunan berurutan. Misalkan himpunan A= {a, b,c, d} dan himpunan B= {1, 2}. Himpunan pasangan berurutan dari himpunan A dan B yang mungkin adalah: {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2),(c, 1), (c, 2), (d, 1), (d, 2)}.

Himpunan pasangan berurutan seperti itu merupakan hasil kali kartesius dari himpunan A dan himpunan B Hasil kali ini biasanya dilambangkan dengan A×B. Secara matematis, hasil kali kartesius antara himpunan A dan himpunan B dapat ditulis dengan notasi berikut ini.

A×B= {(a, b) |a∈A,b∈B}

1.2 PEMETAAN ATAU FUNGSI

Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini:

A	B
		Pada relasi di samping mempunyai ciri: ·         Anggota himpunan A, yaitu: Aris, Bari,Cecep, Darla dan Fira, semuanya memesan dan masing-masing hanya memesan satu jenis makanan. Dengan kata lain semua anggota A memesan makanan dan tidak ada yang memesan lebih dari satu. ·         Secara matematika dikatakan bahwa: setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan anggota himpunan B dan pemasangannya adalah tepat satu. ·         Relasi yang seperti ini disebut fungsi atau pemetaan

Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B

 1.2.1      Domain, Kodomain dan Range

Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A ® B. Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain. Himpunan B disebut Daerah kawan/lawan atau Kodomain. Himpunan bagian dari himpunan B yang anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut Daerah hasil atau Range.

Suatu fungsi f : A ® B dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut:

·         Domain fungsi f adalah Df = {a , b , c , d , e} ·         Kodomain fungsi f adalah Kf = {w , x , y , z} ·         Range fungsi f adalah Rf = {w , x , z}  1.2.2 Banyak Fungsi yg Mungkin antara Dua Himpunan Jika kita mempunyai himpunan A = { a , b } dan himpunan B = { 1 , 2 }, dimana n(A) = 2 dan n(B) = 2. Berapa banyakkah fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita buat diagram panah untuk semua fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B sebagai berikut: A B A B A B A B I               II             III              IV Ternyata jika n(A) = 2 dan n(B) = 2, maka ada 4 fungsi yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B. Jika n(A) = m dan n(B) = n, maka banyaknya fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah nm 1.2.3     Korespondensi Satu-Satu Diagram panah berikut memperlihatkan terjadinya fungsi dua arah, yaitu f : A ® B dan f : B ® A. A B        B      A Fungsi f yang demikian disebut fungsi satu-satu atau korespondensi satu-satu           f: A       B f: B       A Dua hal penting mengenai korespondensi satu-satu adalah: a.    Banyak anggota dua himpunan yang berkorespondensi satu-satu adalah sama b.   Merupakan fungsi dua arah Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B dengan n(A) = n(B) = n adalah n X (n - 1) X (n - 2) X … X 3 X 2 X 1 = n! (dibaca n faktorial) 1.2.4     NILAI FUNGSI 1.2.4.1 Menentukan Nilai Fungsi Tata cara menentukan nilai fungsi, antara lain : a.       Untuk melambangkan fungsi kita gunakan huruf kecil, seperti: f, g, h. Sehingga kita sebut fungsi f, fungsi g, dan fungsi h. b.      Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B kita notasikan dengan f : A ® B atau f : x ® y dengan x Î A dan y Î B (f : x ® y dibaca ”fungsi f memetakan x ke y”) c.       Penulisan lain dari notasi f : x ® y yaitu f(x) = y yang disebut sebagai rumus fungsi f d.      Menentukan nilai fungsi yang dinotasikan dengan f : x ® y atau dirumuskan dengan f (x) = y adalah menentukan nilai y atau f (x) jika nilai x diberikan. CONTOH : Suatu fungsi f dinotasikan dengan f : x ® 3x + 6 a. Tulis rumus fungsi f b. Tentukan nilai dari: f (–2), f (0), f (a – 2) dan f (2/3) Penyelesaian: a. Notasi fungsi f adalah f : x ® 3x + 6     Rumus fungsi f adalah f(x) = 3x + 6 b. f (–2) = 3 (–2) + 6 = –6 + 6 = 0     f (0) = 3 (0) + 6 = 0 + 6 = 6     f (a – 2) = 3 (a – 2) + 6 = 3a – 6 + 6 = 3a    f (2/3) = 3 (2/3) + 6 = 2 + 6 = 8 1.2.4.2  Menentukan Bentuk Fungsi jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui CONTOH : Fungsi f dirumuskan dengan f (x) = px + q dengan p dan q bilangan Real. Jika diketahui f (2) = 7 dan f (–1) = 1, tentukan nilai p dan q serta tulis rumus fungsi f tersebut. Penyelesaian: f(x) = px + q Substitusi p = 2 pada persamaan 2p+q = 7 f(2) = 2p + q = 7 diperoleh 2(2) + q = 7 f(-1) = -p + q = 1                  4   + q = 7                               (-)                          q = 3           3p + 0 = 6 Jadi nilai p=2 dan q=3                  p  = 2 Rumus fungsi f adalah f(x) = 2x+3 1.2.4.3  Nilai Perubahan Fungsi Jika Variabel Diubah Perhatikan tabel fungsi f(x) = x2 – x berikut: x x1 0,5 x2 0,7 x3 0,8 x4 1,2 x5 1,5 Tabel di samping ini menunjukkan perubahan nilai x dan nilai f(x). Dari perubahan tersebut dapat ditentukan besar perubahan rata-rata fungsi f x2 0,25 0,49 0,64 1,44 2,25 -x -0,5 -0,7 -0,8 -1,2 -1,5 f(x) -0,25 -0,21 -0,16 0,24 0,75 Dari tabel tersebut didapat: Besar perubahan nilai x dari x1 = 0,5 ke x2 = 0,7 adalah Dx = x1 – x2 = 0,7 – 0,5 = 0,2 Besar perubahan nilai f(x) dari f(x1) ke f(x2) adalah Df(x) = f(x2) – f(x1) = (–0,21) – (–0,25) = 0,04. 1.2.5        MEMBUAT SKETSA GRAFIK FUNGSI ALJABAR SEDERHANA PADA SISTEM KOORDINAT Menyusun Tabel Fungsi Aljabar Sederhana Suatu fungsi f : R ® R yang dirumuskan dengan: f(x) = 2x + 6 ® Berbentuk apakah grafik fungsi di samping ini? f(x) = x2 + 5x + 4 ® Berbentuk apakah grafik fungsi di samping ini? (Catatan: fungsi f : R ® R adalah fungsi pada bilangan Real) Fungsi f(x) = 2x + 6 dan f(x) = x2 + 5x + 4 merupakan contoh fungsi aljabar sederhana. Salah satu cara sebelum menggambar grafik suatu fungsi, terlebih dahulu kita tentukan koordinat beberapa titik yang dilalui grafik dalam bentuk (x , f(x)). Dengan tabel, pekerjaan menentukan koordinat titik akan lebih mudah kita sajikan.