Sistem Koordinat Cartesius

1.1. Geometri Analitik

Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara aljabar. Dalam hal ini juga memungkinkan menyelesaikan masalah aljabar secara geometri, tetapi model bentuk geometri jauh lebih penting daripada sekedar penyelesaian, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri. Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan dari suatu pengukuran. Tetapi metoda aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang eksak (bukan pendekatan).

1.2. Garis Bilangan

Persekutuan antara aljabar dan geometri adalah membuat pengaitan antara bilangan dalam aljabar dengan titik dalam geometri. Misalkan kita perhatikan pengaitan bilangan dengan titik pada sebuah garis yang tidak terbatas pada kedua arahnya. Pertama-tama, kita pilih pasangan titik O dan P pada garis seperti terlihat pada gambar 1.1.

O P

– 2 0 1 3

berjarak 2 panjang satuan

berjarak 3

Gambar 1.1

Titik O disebut pusat, yaitu dikaitkan dengan bilangan nol, dan titik P yang terletak di sebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan satuan. Dengan menggunakan

sebagai panjang satuan, kita kaitkan bilangan-bilangan lain dengan semua titik pada garis dengan cara berikut; Titik Q yang terletak satu sisi dengan P terhadap titik pusat O dikaitkan dengan bilangan positif x jika dan hanya jika jarak dari titik pusat adalah x, yaitu

= x

. Titik R yang terletak berlawanan sisi dari titik pusat dikaitkan dengan bilangan negatif – x jika dan hanya jika jarak dari titik pusat adalah x. Dengan cara ini setiap titik pada garis dikaitkan dengan satu bilangan real, dan untuk setiap bilangan real berkorespondensi dengan sebuah titik pada garis.

Suatu garis yang titik-titiknya dikaitkan dengan bilangan-bilangan real disebut garis bilangan. Skala yang dijelaskan pada garis bilangan disebut koordinat garis. Bilangan yang menyatakan suatu titik yang diberikan disebut koordinat titik tersebut, dan titik itu disebut grafik dari bilangan.

1.3. Koordinat Cartesius

Titik-titik pada sebuah garis (pada ruang dimensi satu) dinyatakan dengan bilangan tunggal. Sedangkan titik-titik pada sebuah bidang (ruang dimensi dua) dapat dinyatakan dengan pasangan suatu bilangan. Lebih lanjut untuk titik-titik di ruang dimensi tiga dapat dinyatakan dengan tripel suatu bilangan.

Untuk merepresentasikan titik pada sebuah bidang dengan pasangan bilangan, kita tentukan dua garis bilangan bersilangan OX dan OY, dan tentukan skala pada masing-masing garis, seperti pada gambar 1.2. Titik potong kedua garis itu digunakan sebagai titik pusat. Bilangan positif ditempatkan pada sebelah kanan titik O garis mendatar OX dan sebelah atas titik O garis ke vertikal OY. Sedangkan bilangan negatif ditempatkan pada sebelah kiri titik O garis mendatar OX dan sebelah bawah titik O garis ke vertikal OY. Biasanya arah positif ditandai dengan tanda panah pada garis bilangan. Garis OX disebut sumbu-x dan garis OY disebut sumbu-y. Dua garis yang bersilangan itu disebut sumbu koordinat.

P_y P(a, b)

a P_x

Gambar 1.2

Misalkan diberikan sebuah titik P pada bidang yang diberi sumbu koordinat, maka terdapat korespondensi dengan titik P_x pada sumbu x. Ini adalah titik potong antara sumbu x dengan garis yang sejajar sumbu y yang memuat titik P (jika P berada pada sumbu y maka garis ini berimpit dengan sumbu y). Dengan cara yang sama terdapat titik P_y pada sumbu y, yang merupakan titik potong sumbu y dengan garis yang melalui titik P dan sejajar (atau sama) dengan sumbu x. Koordinat kedua titik pada sumbu disebut koordinat titik P. Jika a adalah koordinat P_x pada sumbu-x dan b adalah koordinat P_y pada sumbu-y maka P direpresentasikan dengan (a, b) atau P(a, b). Dalam contoh ini, a disebut koordinat x, atau absis dari P, dan b disebut koordinat y, atau ordinat dari P. Pada saat sebuah titik tertentu diberikan, meskipun nilai numerik dari komponen koordinatnya tidak diketahui, maka koordinat itu biasanya dinyatakan dengan notasi x dan y yang berindeks atau dengan huruf-huruf awal dari alpabet. Sebagai contoh P₁(x₁,y₁) atau P(a, b).

Pada bidang koordinat, biasanya disepakati aturan sebagai berikut:

(1) sumbu-sumbu koordinat diambil yang tegak lurus satu sama lain;

(2) sumbu x adalah garis mendatar (horisontal) dengan koordinat positif arah kanan dari titik pusat, dan sumbu y adalah garis vertikal dengan koordinat positif ke arah atas dari titik pusat koordinat;

(3) digunakan skala yang sama pada kedua sumbu koordinat.

Kesepakatan ini tentu saja, tidak harus diikuti semuanya jika ada pilihan yang lebih menguntungkan. Kita harus sering meninjau kesepakatan ketiga yaitu apabila akan menentukan gambar akan sangat sulit membuat sketsa grafik jika kita tetap menggunakan skala yang sama pada kedua sumbu. Pada kasus seperti ini, kita harus merasa bebas menggunakan skala yang berbeda, mengingat penyimpangan gambar yang terjadi dalam proses. Kecuali tetap memegang kesepakatan atau dinyatakan dalam keadaan tertentu, atau jelas dinyatakan dalam konteks, biasanya kita selalu mengikuti dua kesepakatan pertama.

Sumbu-sumbu koordinat memisahkan bidang ke dalam empat daerah, yang disebut kuadran. Biasanya kuadran diidentifikasi dengan angka romawi sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 1.3. Titik-titik pada sumbu-sumbu koordinat tidak masuk pada sembarang kuadran. Urutan tanda dari absis dan ordinat (x, y) ditunjukkan dalam gambar 1.3.

Kuadran II Kuadran I

(–, +) (+, +)

Kuadran III Kuadran IV

(–, –) (+, –)

Gambar 1.3.

Dalam sistem koordinat tegaklurus setiap pasangan berurutan dari bilangan real dinyatakan dengan satu dan hanya satu titik pada bidang koordinat, dan setiap titik pada bidang koordinat berkorespondensi satu dan hanya satu pasangan berurutan dari bilangan real.

Koordinat titik-titik yang ditentukan dengan cara ini, seringkali dikenal sebagai koordinat Cartesius, sebagai penghormatan terhadap matematikawan dan filosof asal Perancis yang bernama René Descartes yang hidup dari 1596 sampai 1650. Satu hal yang perlu dicatat adalah dua garis sumbu koordinat tidak perlu harus berpotongan secara tegak lurus. Namun demikian jika kedua sumbu berpotongan miring, hasil-hasil secara aljabar menjadi lebih rumit.

1.4. Plotting

Proses lokalisasi dan pemberian tanda sebuah titik yang koordinatnya diberikan disebut plotting titik. Untuk melakukan plotting telah banyak disediakan kertas grafik yang berupa kertas berpetak persegi kecil-kecil. Gambar 1.4. menyatakan plotting beberapa titik pada bidang.

Sekarang kita dapat mengidentifikasi koordinat dari titik-titik dalam gambar 1.4. Perhatikan bahwa semua titik pada sumbu x mempunyai ordinat nol, dan juga titik-titik pada sumbu y mempunyai absis nol sebab keduanya berada pada sumbu koordinat.

(0, 3)

(–1, 2) (2, 2)

(0, 1) (3, 1)

(–3, 0) (0, 0) (2, 0)

(–3, –2) (0, –2)

(–2, –3) (2, –3)

Gambar 1.4.

Latihan 1 A

1. Plot masing-masing titik berikut pada bidang koordinat.

(a). (5, 2),	(b). (5, –2),	(c). (–5, 2)	(d). (–5, –2),
(e). (2, 5),	(f). (2, –5),	(g). (–2, 5)	(h). (–2, –5),
(i). (3, 0),	(j). (0, 3),	(k). (–3, 0)	(l). (0, –3),
(m). (0, 0),	(n). (6, 6),	(o). (–6, –6)	(p). (1½, –3),

2. Sebuah persegi mempunyai panjang sisi 10 unit. Apa koordinat titik-titik sudut persegi tersebut jika :

(a). satu titik sudutnya berada di titik pusat, dua sisinya berada pada sumbu koordinat dan satu titik lain di kuadran II

(b). pusat persegi berapa pada pusat koordinat dan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu koordinat.

(c). diagonal-diagonalnya berada pada sumbu-sumbu koordinat.

3. Seperti soal no 2, tetapi panjang sisi persegi adalah a unit.

4. Alas suatu segitiga sama kaki mempunyai panjang 6 unit dan masing-masing sisi yang sama mempunyai panjang 5 unit. Alas segitiga tersebut berada pada sumbu-x dan dibagi dua oleh titik pusat. Tentukan kordinat titik-titik sudut segitiga tersebut kemudian gambar pada bidang koordinat (ada dua jawaban).

5. Titik-titik (0, 0), (10, 0), (2, 5) adalah titik-titik sudut suatu jajaran genjang. Tentukan titik yang keempat dari jajaran genjang tersebut (ada tiga jawaban).

6. Alas suatu trapesium sama kaki adalah 20 dan 10 unit, dan panjang sisi yang sama adalah 13 unit. Alas yang lebih panjang berada sepanjang sumbu-y dan dibagi sama panjang oleh titik pusat koordinat. Jika alas yang lebih pendek terletak di sebelah kanan, tentukan koordinat masing-masing titik sudut trapesium tersebut.

7. Hexagon (segi 8) beraturan dengan panjang sisi 8 unit diletakkan pada bidang sehingga pusatnya berimpit dengan pusat koordinat. Tentukan koordinat titik-titik sudutnya.

8. Suatu segitiga sama sisi mempunyai titik sudut dengan koordinat (–1, 3) dan titik (7, 3). Apa koordinat titik yang ketiga ? (ada dua jawaban).

9. Panjang sisi segitiga sama kaki adalah 16, 17, 17. Titik-titik kaki segitiga terletak pada sumbu-sumbu koordinat, sedangkan titik yang lain berada di kuadran I dan terletak pada garis bagi kuadran. Tentukan koordinat ketiga titik sudut tersebut.

10. Panjang sisi segitiga siku-siku adalah 3 dan 4 unit. Sisi miring berada sepanjang sumbu-x, salah satu titik yang lain berada pada titik pusat koordinat. Tentukan koordinat titik-titik sudut yang lain jika titik sikunya berada pada kuadran I (ada dua jawaban).

1.5. Jarak antara Dua Titik

Telah kita kaitkan titik-titik dengan koordinat. Sekarang akan kita pergunakan untuk menyelesaikan masalah geometri. Kita mulai dengan konsep jarak antara dua titik. Misalkan kita pandang jarak dua titik pada koordinat garis. Misalkan P₁ dan P₂ dua titik pada garis, dan misalkan mempunyai koordinat x₁ dan x₂. Jika P₁ dan P₂ keduanya berada di sebelah kanan pusat, dengan P₂ lebih kanan daripada P₁ (seperti pada gambar 1.5 (a)).

x₁x₂

O P₁P₂

(a)

x₁x₂

P₁P₂O

(b)

x₁x₂

P₁OP₂

(c)

Gambar 1.5

Maka

–

= x₂ – x₁

Pernyataan jarak antara dua titik akan lebih rumit jika titik pusat berada di kanan salah satu atau kedua titik. Dalam gambar 1.5 (b) berlaku

–

= –x₁ – (–x₂) = x₂ – x₁

dan dalam gambar 1.5 (c)

= –x₁ + x₂ = x₂ – x₁.

Jadi kita lihat bahwa

= x₂ – x₁ dalam semua kasus dalam hal mana P₂ berada di kanan P₁. Jika P₂ berada di kiri P₁ maka dengan cara yang sama akan kita peroleh

= x₁ – x₂.

Jadi

dapat selalu direpresentasikan sebagai koordinat terbesar dikurangi koordinat terkecil. Karena x₂ – x₁ dan x₁ – x₂ berbeda hanya salah satu dikurangi lainnya dan karena jarak selalu tidak boleh negatif maka jarak antara P₁ dan P₂ dapat dirumuskan sebagai

= |x₂ – x₁| =

(1)

Bentuk ini adalah notasi jarak yang umum tanpa memandang posisi relatif P₁ terhadap P₂ diketahui ataupun tidak.

Sekarang kembali kepada perhatian kita permasalahan yang lebih sulit yaitu menemukan jarak antara dua titik di bidang datar. Misalkan kita tertarik pada jarak antara P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂) (lihat gambar 1.6).

P₁(x₁, y₁)

Q(x₁, y₂) P₂(x₂, y₂)

Gambar 1.6

Garis vertikal yang melalui P₁ dan garis horizontal yang melalui P₂ berpotongan pada titik Q(x₁, y₂). Asumsikan P₁ dan P₂ tidak berada pada garis vertikal atau horizontal yang sama. P₁P₂Q membentuk segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku pada Q. Sekarang kita pergunakan teorema Pythagoras untuk menghitung panjang P₁P₂. Dengan penjelasan yang telah dikemukakan di depan diperoleh

= |x₂ – x₁| dan

= |y₂ – y₁|

Dengan teorema Pythagoras diperoleh,

Karena |x₂ – x₁|² = (x₂ – x₁)² = (x₁ – x₂)² maka nilai mutlak boleh dihilangkan dalam langkah ini dan kita peroleh

(2)

Kenyataan ini dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 1.1

Jarak antara dua titik P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂) adalah

Pada penurunan rumus di atas, diasumsikan bahwa P₁ dan P₂ tidak berada pada garis horizontal atau vertikal yang sama; akan tetapi rumus jarak di atas akan berlaku pula pada kasus ini. Sebagai contoh misalkan P₁ dan P₂ berada pada garis horizontal yang sama, maka y₁ = y₂ dan y₁ – y₂ = 0. Jadi

= |x₂ – x₁|

Satu catatan bahwa

tidak selalu bernilai x₂ – x₁. Karena simbul Ö menandakan akar kuadrat non-negatif. Jadi jika x₂ – x₁ bernilai negatif, maka

tidak sama dengan jika x₂ – x₁ tetapi sama dengan |x₂ – x₁|. Sebagai contoh misalkan x₂ – x₁ = –5 maka

= 5

Contoh 1:

Tentukan jarak antara P₁(1, 4) dan P₂(–3, 2).

Jawab:

= 2

Contoh 2:

Tentukan apakah titik-titik A(1, 7), B(0, 3), C(–2, –5) terletak pada satu garis lurus(kolinier) ?

Jawab:

Kita hitung jarak antara masing-masing titik dengan lainnya.

= 2

= 3

Tampak bahwa

, oleh karena itu ketiga titik harus berada pada satu garis lurus (jika tidak demikian, mereka akan membentuk segitiga dan salah satu sisinya harus kurang dari jumlah dua yang lain).

Contoh 3:

Tunjukkan bahwa (1, 2), (4, 7), (–6, 13), dan (–9, 8) adalah titik-titik dari persegi panjang.

Jawab:

Titik-titik tersebut dapat digambarkan pada gambar 1.7. Kita hitung panjang masing-masing sisi.

Meskipun

dan

, kita tidak bisa menyimpulkan bahwa bangun di atas adalah persegi panjang. Dalam hal ini baru kita simpulkan bahwa bangun tersebut adalah jajaran genjang. Untuk menunjukkan bahwa jajaran genjang di atas adalah sebuah persegi panjang perlu ditunjukkan lagi salah satu sifat yaitu jika panjang diagonalnya sama. Panjang diagonal bangun di atas adalah

Karena telah ditunjukkan bahwa bangun di atas adalah jajaran genjang dengan panjang diagonalnya sama maka kita simpulkan bahwa bangun di atas adalah persegi panjang.

Latihan 1 B:

Dalam soal 1 - 4, tentukan jarak antara dua titik yang diberikan

1. (1, –3), (2, 5) 2. (5, –3), (5, 4)

3. (1/2, 2), (–3/2, 1/2) 4. (

, 3

), (3

, –

)

Dalam soal 5 - 8 tentukan x dengan syarat-syarat yang diberikan

5. P₁(5, –2), P₂(x, –5),

= 5 6. P₁(–4, x), P₂(8, 5),

= 13

7. P₁(x, x), P₂(1, 4),

8. P₁(x, 2x), P₂(2x, 1),

Dalam soal 9 - 14 tentukan apakah ketiga titik yang diberikan segaris lurus (kolinier) atau tidak.

9. (–2, 3), (7, –2), (2, 5) 10. (–3, 4), (0, 2), (6, –2)

11. (1, –1), (3, 4), (–1, –6) 12. (1, 2

), (–1, 5

), (3, –2

)

13. (–3, 3), (2, –1), (7, –5) 14. (2, 3), (1, –2), (–1, 11)

Dalam soal 15 dan 16 tentukan apakah tiga titik yang diberikan membentuk segitiga siku-siku atau tidak.

15. (0, 2), (–2, 4), (1, 3)

16. (

–3, 2

+ 1), (

– 1,

+ 1), (2

– 1,

+ 2)

17. Tunjukkan bahwa segitiga dengan titik-titik sudutnya berupa titik pusat, titik (a, b), dan ( ½(a + bÖ3), ½(b – aÖ3)) adalah sama sisi.

18. Tentukan panjang diagonal dari segiempat yang titik-titik sudutnya mempunyai koordinat (10, 7), (2, –8), (–5, –1), (–3, 4).

19. Alas suatu segitiga samakaki adalah segmen garis yang menghubungkan titik (6, 1) dengan (–1, 2). Absis dari titik sudut yang lain adalah 3. Tentukan ordinat dari titik sudut itu.

20. Jarak titik (x, –5) ke titik (–5, 4) adalah tiga kali terhadap jarak titik itu ke titik (10, –1). Tentukan x (ada dua jawab).

1.6. Luas Segitiga dan Poligon

Suatu segitiga atau poligon dapat dihitung luasnya apabila titik-titik sudut diketahui koordinatnya. Salah satu cara mencari formula luas suatu poligon adalah menggunakan prinsip penghitungan luas suatu trapesium.

Misalkan suatu segitiga diketahui mempunyai koordinat P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), dan P₃(x₃, y₃), sedemikian hingga label memutar segitiga yang melewati titik-titik P₁P₂P₃ akan berlawanan dengan arah jarum jam seperti pada gambar 1.8.

Gambar 1.8.

Misalkan M₁, M₂, M₃ proyeksi titik-titik P₁, P₂, P₃ pada sumbu-x maka

Luas DP₁P₂P₃ = luas M₁M₃P₃P₁ + luas M₃M₂P₂P₃ – luas M₁M₂P₂P₁.

Dalam hal ini M₁M₃P₃P₁ adalah trapesium dengan alas M₁P₁ dan M₃P₃ yang sama dengan y₁ dan y₂, dan tingginya M₁M₃ yang besarnya sama dengan x₃ – x₁. Secara sama M₃M₂P₂P₃ adalah trapesium dengan panjang alas y₃ dan y₂ dan dengan tinggi x₂ – x₃; dan M₁M₂P₂P₁ adalah trapesium dengan panjang alas y₁ dan y₂ dan dengan tinggi x₂ – x₁. Oleh karena itu,

Luas DP₁P₂P₃ = ½(y₁ + y₃)(x₃ – x₁) + ½(y₃ + y₂)(x₂ – x₂) – ½(y₁ + y₂)(x₂ – x₁)

= ½(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁ – x₂y₁ – x₃y₂ – x₁y₃) (1)

Bentuk persamaan (1) di atas dapat ditulis dalam bentuk determinan yaitu :

Luas DP₁P₂P₃ =

(2)

Jika titik-titik P₁, P₂, P₃ disusun dalam arah putar jarum jam, maka nilai determinan dari persamaan (2) di atas menjadi negatif. Tetapi nilai numerik yang diberikan adalah sama. Untuk menghindari nilai negatif dari luas segitiga yang diberikan karena susunan titik, maka luas segitiga diambil nilai mutlak dari ruas kanan rumus (2).

Contoh 1:

Tentukan luas segitiga jika titik-titik sudutnya adalah (–2, 7), (8, 2), dan (4, –3).

Jawab:

Gambar pada bidang koordinat segitiga tersebut seperti gambar 1.9. berikut.

Gambar 1.9.

Misalkan segitiga tersebut dinamai DP₁P₂P₃. Perhatikan bahwa urutan P₁P₂P₃ adalah berlawanan dengan arah putar jarum jam. Dengan menggunakan rumus (1) atau (2) untuk menghitung akan diperoleh luas segitiga tersebut yaitu:

Luas DP₁P₂P₃ =

(4´2 + 8´7 + (–2)´(–3) – (–3) ´8 – (–2)´2 – 4´7)

(8 + 56 + 6 + 24 + 4 – 28) = 35

Ada suatu cara mudah untuk mengingat dan menerapkan rumus (2) dalam menentukan luas suatu segitiga ataupun poligon dengan langkah-langkah sebagai berikut:

(1) Tuliskan koordinat titik sudut poligon dalam dua kolom. Kolom satu digunakan untuk menuliskan absis dan kolom lainnya untuk ordinat.

(2) Lakukan untuk urutan titik-titik yang lain sedemikian hingga titik-titik yang berurutan membentuk poligon dengan arah berlawanan dengan arah putar jarum jam seperti pada diagram di bawah ini. Hal ini untuk menjamin nilai yang dihasilkan adalah positif.

Titik	Absis	Ordinat
P₁	x₁	y₁
P₂	x₂	y₂
P₃	x₃	y₃
...	...	...
P_n	x_n	y_n
P₁	x₁	y₁

(3) Lakukan perkalian absis dengan ordinat baris berikutnya seperti pada tanda anak panah lurus, dan jumlahkan akan menghasilkan nilai numerik

x₁y₂ + x₂y₃ + … + x_n_-1y_n + x_ny₁

(4) Lakukan perkalian absis dengan ordinat baris sebelumnya seperti pada tanda anak panah putus-putus, dan jumlahkan akan menghasilkan nilai numerik

x₂y₁ + x₃y₂ + … + x_ny_n_-1 + x₁y_n

(5) Terakhir kurangkan hasil numerik langkah (3) dengan langkah (4) dan hasilnya dibagi dua akan menghasilkan rumus luas poligon P₁P₂…P_n yaitu

Luas poligon P₁P₂…P_n =

{( x₁y₂ + x₂y₃ + … + x_n_-1y_n + x_ny₁) – (x₂y₁ + x₃y₂ + … + x_ny_n_-1 + x₁y_n)} (3)

Contoh 2:

Tentukan luas segi empat yang mempunyai titik-titik sudut (–1, 4), (3, –7), (–6, 0), dan (8, 2).

Jawab:

Buat plot titik-titik pada bidang koordinat. Susun titik-titik itu sedemikian hingga susunan titik-titik itu membentuk segi empat dengan arah berlawanan dengan arah putar jarum jam. Perhatikan sketsa gambar 1. 10

Gambar 1.10.

Selanjutnya dapat dibuat susunan koordinat dalam kolom seperti berikut ini

Titik	x	y
P₁:	3	–7
P₂:	8	2
P₃:	–1	4
P₄:	–6	0
P₁:	3	–7

Dari susunan bilangan itu dengan rumus (3) segera kita peroleh luas segi empat yaitu :

Luas P₁P₂P₃P₄ =

(3´2 + 8´4 + (–1)´0 + (–6)´(–7) – 8´(–7) – (–1)´2 – (–6)´4 – 3´0)

(6 + 32 + 0 + 42 + 56 + 2 + 24 – 0) = 81

Latihan 1 C:

Tentukan luas daerah segitiga dengan titik-titik sudut sebagai berikut:

1. (2, 3), (8, 0), (5, 6). 2. (1, 4), (7, 1), (5, 8).

3. (6, 0), (–2, 3), (2, 7). 4. (5, 1), (–3, 4), (–1, –2).

5. (0, –5), (7, –1), (–1, –1). 6. (4, 0), (0, 6), (–3, –5).

7. (–5, –3), (–2), (0, 0). 8. (–4, –2), (–1, –1), (5, 1).

9. (1.5, –3), (6.5, 2), (3, 4). 10. (7, –6), (–2, –7), (5, 5).

Tentukan luas poligon dengan titik-titik sudut sebagai berikut:

11. (2, 6), (0, –4), (5, –3), (8, 3).

12. (–3, 7), (6, 5), (2, 12), (–2, 0)

13. (9, 2), (4, 7), (–2, 0), (5, 3).

14. (6, 7), (9, –1), (–4, 0), (–2, 7), (0, –5).

15. (2, –5), (10, –3), (6, 4), (1, 2), (2, 0).

16. Tentukan luas segitiga dengan titik-titik sudutnya P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), dan pusat koordinat.

17. Tentukan luas segitiga dengan titik-titik sudutnya (0, 0), (x₁, 0), dan (x₂, y₂).

18. Titik-titik sudut segitiga adalah (2, 7), (5, 1), dan (x, 3).; luasnya adalah 18. Tentukan nilai dari x:

(a) jika titik itu diberikan pada arah berlawanan dengan arah putar jarum jam.

(b) jika titik itu diberikan searah putar jarum jam.

19. Tunjukkan bahwa titik-titik (–2, 8), (1, –1), dan (3, –7) berada pada satu garis lurus dengan membuktikan bahwa luas “segitiga” dari ketiga titik tersebut adalah nol.

20. Tentukan nilai dari x sedemikian hingga titik (x, –8), berada pada garis yang melalui titik (2, 1) dan (3, 4).

21. Diberikan titik-titik A(–3, 4), B(–1, –2), C(5, 6), D(x, –4). Tentukan nilai dari x sedemikian hingga segitiga ABD dan ACD mempunyai luas yang sama (ada dua jawaban).

22. Seperti soal no.21, tentukan x sedemikian hingga luas segitiga ABD adalah dua kali luas segitiga ACD.

23. Tentukan nilai dari a sedemikian hingga titik-titik (a, 4), (5, a) dan (–1, 6) berada pada satu garis lurus.

24. Luas segitiga dengan titik-titik sudut (a, 6), (2, a), (4, 2) adalah 28. Tentukan nilai a.

1.7. Rasio Pembagian Segmen Garis

Pada bagian ini akan dibicarakan koordinat sebuah titik yang membagi sebuah segmen garis menjadi dua bagian dengan perbandingan tertentu.

Misalkan diketahui titik P membagi segmen garis AB sedemikian hingga terdapat perbandingan

(1)

Rasio m : n disebut rasio pembagian. Titik P disebut titik pembagi, dan P dikatakan membagi segmen AB secara internal atau eksternal bergantung apakah P terletak antara A dan B atau di luar segmen AB.

A PB

0 £

< ¥

(a)

PAB

–1 <

£ 0

(b)

ABP

–¥ <

£ –1

(c)

Gambar 1.11

Jika P terletak antara A dan B maka rasio pembagian adalah positif. Hal ini dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang sama (perhatikan gambar 1.11 (a)). Rasio akan bernilai 0 jika P berimpit dengan A dan naik tak terbatas sebagaimana P mendekati B.

Jika P terletak di luar A dan B sebagaimana pada gambar 1.11 (b) dan (c) maka rasio pembagian adalah negatif. Hal ini dikarenakan AP dan PB mempunyai arah yang berlawanan. Sejalan dengan mundurnya P dari A pada arah BA (gambar 1.11.(b)), maka rasio akan turun dari 0 hingga mendekati nilai –1. Jika P pada perpanjangan AB (gambar 1.11. (c)) maka rasio pembagian secara aljabar akan kurang dari –1. Rasio secara aljabar akan besar tak terbatas apabila P mendekati B dan rasio mendekati –1 apabila P menuju titik tak hingga.

Perhatikan gambar 1.12. berikut:

A(x₁, y₁)

P’ P(x_P, y_P)

A’ B(x₂, y₂)

m n

O x₁ x_P x₂

Gambar 1.12.

Jika koordinat titik A dan B diketahui, dan juga rasio pembagian diketahui maka koordinat titik P dapat dicari. Pada gambar 1.12. misalkan diketahui titik A dengan koordinat (x₁, y₁) dan titik B (x₂, y₂) dan titik P(x_p, y_p) membagi segmen garis AB sedemikian hingga terdapat perbandingan AP : PB = m : n.

Berdasarkan sifat kesebangunan segitiga A’AB dengan P’AP maka diperoleh perbandingan :

AP : AB = P’P : A’B = m : m + n (2)

Sedangkan P’P = x_P – x₁ dan A’B = x₂ – x₁ sehingga perbandingan menjadi

Dengan menyelesaikan persamaan untuk x_P diperoleh

x_P =

. (3)

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa

y_P =

. (4)

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik yang membagi segmen dari titik (–6, 2) ke titik (4, 7)

(a). dengan rasio 2 : 3

(b). dengan rasio –7 : 2

Jawab:

Dengan menggunakan rumus (3) dan (4) dapat diperoleh

(a). x_P =

= –2, y_P =

= 4;

(b). x_P_’ =

= 8, y_P_’ =

= 9.

Titik-titik yang berkaitan dengan jawaban (a) dan (b) adalah P dan P’ seperti pada gambar 1.13 berikut

P’

P₂(4, 7)

P₁(-6, 2)

Gambar 1.13

1.8. Titik Tengah Segmen Garis

Rumus penting lain pada kasus khusus yang banyak digunakan dalam koordinat Cartesius adalah mencari titik tengah suatu segmen garis, yang dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 1.2:

Jika P adalah titik tengah dari dengan koordinat A(x₁, y₁) dan B(x₁, y₁) maka koordinat titik P diberikan oleh (x, y) dengan rumus

x = , y = (5)

Bukti :

Misalkan P adalah titik tengah dari maka jelas bahwa m : n = 1 : 1, atau m = n dan rumus (3) dan (4) dari seksi 1.6 dapat direduksi menjadi

x = , y =

Jadi untuk mendapatkan titik tengah dari segmen AB, kita hanya menghitung rata-rata masing-masing koordinat x dan y dari titik yang diberikan. Dengan kejadian ini akan beralasan jika menyimpulkan bahwa rata-rata dua temperatur yang berbeda terletak di tengahnya, rata-rata dua ketinggian akan berada di tengah-tengah antaranya, dan lain-lain.

Contoh 2:

Tentukan titik tengah dari segmen AB jika koordinat masing-masing titik diberikan oleh (1, 5) dan (–3, –1).

Jawab:

x = , y =

= = –1, = = 2.

Jadi P(–1, 2)

1.9. Titik Berat (Centroid) dari Segitiga

Titik berat atau pusat dari suatu segitiga adalah titik potong dari garis-garis tengahnya. Jika segitiga itu berkenaan dengan suatu material dengan kepadatan sama pada setiap permukaan maka titik berat adalah pusat gravitasi.

Gambar 1.14

Pada gambar 1.14 diberikan segitiga P₁P₂P₃. Misalkan M₁ adalah titik tengah dari sisi P₂P₃ dan M adalah pusat segitiga tersebut.

Jika koordinat titik-titik sudut segitiga sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 1.14 maka koordinat titik M₁ dengan rumus (4) adalah

Dari Geometri Elementer kita tahu bahwa M, titik potong antar garis tengahnya, berada pada garis tengah P₁M₁ pada jarak dua pertiga dari P₁ ke M₁. Jadi rasio perbandingan pembagiannya adalah

Dengan menggunakan rumus (3) dan (4) seksi 1.6, koordinat titik M dapat ditemukan yaitu,

x_M = , y_M = (6)

Hal ini berarti, absis dari titik pusat segitiga adalah rata-rata dari absis ketiga titik sudutnya, dan ordinat dari titik pusat segitiga adalah rata-rata dari ordinat ketiga titik sudutnya.

Latihan 1.D

Pada masing-masing latihan 1 sampai dengan 12 diberikan dua titik dan satu rasio pembagian. Tentukan titik baginya dan plot di bidang koordinat.

1. (1, 2), (7, 5); 1 : 2.

2. (2, 1), (9, 15); 3 : 4.

3. (–3, 8), (7, –7); 3 : 2.

4. (–5, 0), (7, –6); 1 : 3.

5. (1, 2), (9, 8); –3 : 5.

6. (1, 2), (9, 8); –5 : 3.

7. (6, 3), (–1, –2); –1 : 2.

8. (–2, 3), (7, –8); –5 : 2.

9. (–7, –8), (1, –2); 3 : 1.

10. (–1, 7), (–8, –3); –2 : 1.

11. (–3, 8), (7, –7); 2 : 3.

12. (–3, 8), (7, –7); –2 : 3.

Tentukan koordinat titik tengah dari segmen garis yang dihubungkan oleh pasangan titi-titik berikut:

13. (1, 2), (7, 5).

14. (2, 1), (9, 15).

15. (–3, 8), (7, 5).

16. (–5, 0), (7, –7).

17. (6, 3), (–1, –2).

18. (–7, –8), (1, –2).

19. (0, 0), (a, b).

20. (a, 0), (0, b).

21. (a, b), (–a, –b).

22. (a, b), (b, a).

23. Tunjukkan bahwa jika rasio perbandingan r₁ : r₂ dinyatakan dengan r, maka koordinat titik baginya adalah

x_P = , y_P =

24. Tentukan titik-titik pembagi tiga dari segmen garis yang dihubungkan oleh titik (12, –7) dengan titik (–3, 5).

25. Diberikan titik-titik A(–5, 3) dan B(7, –9).

(a). Tentukan koordinat titik yang membagi segmen AB dengan perbandingan 2 : 3.

(b). Tentukan koordinat titik yang membagi segmen AB dengan perbandingan 3 : 2.

26. Titik-titik sudut suatu segiempat adalah (7, 4), (–5, –2), (3, –8), dan (–1, 6). Dengan menghitung secara numerik, tunjukkan bahwa keliling segiempat yang dibentuk dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi segiempat asal, sama dengan jumlah diagonal segiempat asal.

27. Tentukan rasio pembagian jika titik (2, 3) membagi segmen yang dihubungkan oleh titik (3, 8) dan (–1, –12).

28. Titik (5, –1) membagi segmen P₁P₂ dalam rasio 2 : 3. Jika koordinat titik P₁ adalah (11, –3), tentukan koordinat titik P₂.

29. Jika P(4, –1) adalah titik tengah dari segmen AB, dengan A(2, 5), tentukan koordinat titik B.

30. Jika P(4, 1) adalah titik tengah dari segmen AB, dengan B(5, –2), tentukan koordinat titik A.

31. Tunjukkan bahwa (5, 2) terletak pada bisektor tegak lurus segmen garis AB di mana A(1, 3) dan B(4, –2).

32. Tunjukkan bahwa (–2, 4), (2, 0), (2, 8), dan (6, 4) adalah titik-titik dari suatu persegi.

33. Tentukan semua nilai y yang mungkin sehingga A(5, 8), B(–4, 11), dan C(2, y) berupa segitiga siku-siku.

34. Titik (1, 4) berjarak 5 dari titik tengah segmen yang dihubungkan oleh titik (3, –2) dan titik (x, 4). Tentukan nilai x.

35. Titik tengah dari sisi-sisi suatu segitiga adalah (–1, 6), (4, –2) dan (10, 1). Tentukan koordinat titik-titik ujung segitiga tersebut.

1.10. Bukti Analitik Teorema-teorema Geometri

Apabila kita menggunakan metode geometri analitik ketika membuktikan teorema geometri, maka pembuktian ini disebut pembuktian secara analitik. Ketika membawa permasalahan untuk membuktikan geometri secara analitik, kita harus menempatkan bidang bersama dengan sumbu-sumbu koordinat untuk kemudian membuat transisi dari geometri ke aljabar. Jadi kita bebas meletakkan sumbu-sumbu koordinat dalam sembarang posisi dan kita pilih relasi dari gambar yang diberikan. Kita tempatkan gambar itu dengan cara sedemikian hingga membuat aljabar sesederhana mungkin.

Contoh 1:

Buktikan secara analitik bahwa diagonal persegipanjang adalah sama panjang.

Jawab:

Langkah pertama tempatkan sumbu-sumbu koordinat pada tempat yang bersesuaian. Tempatkan sumbu-x tegaklurus dengan sumbu-y, seperti pada gambar 1.15.

Gambar 1.15

Karena bangun yang akan kita bentuk adalah persegipanjang, maka koordinat titik B dan D bergantung pada titik C. Kemudian kita hitung panjang masing-masing diagonal AC dan BD.

Karena

maka teorema terbukti.

Contoh 2:

Buktikan secara analitik bahwa segmen garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi suatu segitiga adalah sejajar sisi yang ketiga dan panjangnya setengah dari sisi ketiga itu.

Jawab :

Misalkan diambil sembarang segitiga dengan titik-titik ujungnya kita tempatkan pada sumbu koordinat seperti pada gambar 1.16.

Titik-titik D dan E masing-masing titik tengah dari sisi AC dan BC, berturut-turut.

Dengan Rumus titik tengah diperoleh koordinat titik D(a/2, c/2) dan E(b/2, c/2). Karena C dan D mempunyai ordinat y yang sama, maka DE adalah garis horizontal (mendatar), sehingga sejajar dengan AB. Sedangkan

= b/2 – a/2 = (b – a)/2 dan

= b – a; sehingga

/2.

Latihan 1 E:

Buktikan secara analitik bahwa :

1. Diagonal-diagonal persegipanjang adalah sama panjang.

2. Titik tengah sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah berjarak sama dari ketiga titik sudutnya.

3. Garis yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang tidak sejajar dari trapesium adalah sejajar dengan alasnya dan panjangnya sama dengan setengah jumlah kedua alasnya.

4. Gambar yang dibentuk dengan menghubungkan secara berturutan titik tengah sisi-sisi suatu segiempat adalah jajaran genjang dan panjang kelilingnya sama dengan jumlah diagonal segiempat semula.

5. Jumlah kuadrat empat sisi jajaran genjang adalah sama dengan jumlah kuadrat diagonal-diagonalnya.

6. Jumlah kuadrat garis-garis tengah suatu segitiga sama dengan tiga perempat jumlah kuadrat sisi-sisinya.

1.11. Sudut Inklinasi dan Kemiringan (Slope)

Konsep penting dalam mendeskripsikan sebuah garis dan selalu digunakan dalam pembahasan grafik adalah sudut inklinasi dan kemiringan. Pertama kita ingat kesepakatan dari trigonometri; bahwa sudut yang diukur dalam arah berlawanan arah putar jarum jam adalah positif, dan yang diukur searah putaran jarum jam adalah negatif.

Definisi :

Sudut inklinasi dari garis lurus yang berpotongan dengan sumbu-x adalah ukuran sudut non-negatif terkecil dari sudut yang dibentuk antara garis itu dengan sumbu-x positif.

Sudut inklinasi dari garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 0.

Kita gunakan simbol q untuk menyatakan sudut inklinasi. Sudut inklinasi sebuah garis selalu kurang dari 180°, atau p radian, dan setiap garis mempunyai sudut inklinasi. Jadi untuk sembarang garis berlaku

0° £ q < 180°, atau 0 £ q <p. (1)

Gambar 1.17 menunjukkan beberapa garis dan sudut inklinasinya.

Y 0°= 0

45°=

120°=

90° =

135°=

Gambar 1.17

Definisi :

Kemiringan (slope) m dari suatu garis adalah nilai tangen dari sudut inklinasinya; yaitu

m = tanq (2)

Adalah mungkin, jika dua sudut yang berbeda mempunyai nilai tangen yang sama, tetapi tidak mungkin dua sudut inklinasi yang berbeda mempunyai kemiringan yang sama. Hal ini disebabkan pembatasan sudut inklinasi, yaitu 0° £ q < 180°. Salah satu masalah yang muncul adalah kemiringan dari garis dengan sudut inklinasi = 90°, sebab tangen 90° tidak ada. Jadi garis vertikal mempunyai sudut inklinasi 90° tetapi tidak mempunyai kemiringan. Kadang-kadang dikatakan bahwa kemiringan garis vertikal adalah “tak hingga”, atau lambang “¥”. Bagaimanapun lambang ini bukanlah bilangan. Akan tetapi garis dengan sudut inklinasi nol yaitu garis horisontal mempunyai kemiringan yaitu nol.

Terlepas dari ketiadaan kemiringan garis vertikal, ada suatu hubungan yang sederhana antara kemiringan dengan pasangan koordinat titik pada suatu garis. Kemiringan suatu garis dapat dinyatakan dalam bentuk dari koordinat sembarang dua titik pada garis itu, misalnya melalui titik P₁(x₁, y₁) dan P₂(x₂, y₂) seperti pada gambar 1.18.

P₂(x₂, y₂)

y₂ – y₁

P₁(x₁, y₁) q

O X

Gambar 1.18

Maka kemiringan garis P₁P₂ diberikan oleh

m = tan q =

; di mana x₁ ¹ x₂. (3)

Contoh 1:

Tentukan kemiringan garis yang memuat titik P₁(1, 5) dan P₂(7, –7)

Jawab :

Dengan menggunakan rumus (3) di atas diperoleh

m =

= – 2.

1.12. Garis-garis Sejajar dan Tegak Lurus

Jika dua garis yang bukan vertikal adalah sejajar maka harus mempunyai sudut inklinasi sama besar, sehingga mempunyai kemiringan yang sama. Jika dua garis sejajar adalah vertikal maka salah satunya pasti tidak mempunyai kemiringan. Sebaliknya jika garis mempunyai kemiringan sama maka mereka mempunyai sudut inklinasi yang sama dan oleh karena itu mereka sejajar. Jadi

dua garis yang mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ adalah sejajar jika dan hanya jika

m₁ = m₂ (1)

atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan (lihat gambar 1.19).

l₁ l₂

q₁ q₂

Gambar 1.19

Jika dua garis bukan vertikal l₁ dan l₂ dengan sudut inklinasi q₁ dan q₂ tegak lurus (lihat gambar 1.20),

Y q₁

q₂

Gambar 1.20

maka

q₁ – q₂ = 90°,

atau

q₁ = q₂ + 90°,

Jadi

tanq₁ = tan(q₂ + 90°) = – cotq₂ =

atau

m₁ =

(2)

Di lain pihak, jika m₁ =

, dengan argumen penelusuran balik penalaran di atas maka dapat ditunjukkan bahwa selisih sudut inklinasinya adalah 90° dan kedua garis adalah tegak lurus. Kenyataan itu dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 1.3 :

Jika dua garis l₁ dan l₂ mempunyai kemiringan m₁ dan m₂ berturut-turut, maka mereka

(a) sejajar jika dan hanya jika m₁= m_2,

(b) tegak lurus jika dan hanya jika m₁m₂ = –1.

Contoh 1:

Tentukan kemiringan dari garis l₁ yang memuat (1, 5) dan (3, 8) dan garis l₂ yang memuat (–4, 1) dan (0, 7); tentukan apakah l₁ dan l₂ sejajar, berimpit, tegak lurus atau yang lain.

Jawab:

Pertama kita hitung masing-masing kemiringan garis

m₁ =

, m₂ =

Karena m₁ = m₂ maka l₁ dan l₂ sejajar. Untuk menguji apakah keduanya berimpit kita ambil sembarang titik pada masing-masing garis kemudian kita hitung kemiringannya, misalkan kita ambil titik (1, 5) pada l₁ dan titik (–4, 1).

m₃ =

Karena m₃ ¹ m₁ maka titik (–4, 1) tidak dapat berada di l₁. Jadi l₁ dan l₂ adalah dua garis yang sejajar dan tidak berimpit.

1.13. Sudut antara Dua Garis

Dua garis yang berpotongan, l₁ dan l₂, akan membentuk sudut yang saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan :

Sudut antara garis l₁ dan l₂ dilambangkan dengan Ð(l₁, l₂) adalah sudut terkecil dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam yang diperlukan untuk memutar garis l₁ dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l₂.

Gambar 1.21 memperlihatkan sudut antara dua garis l₁ dan l₂, yang dinotasikan dengan q.

l₂

l₁

l₂

(a) (b)

Gambar 1.21

Suatu rumus sederhana untuk tangen sudut antara dua garis dapat diturunkan dalam bentuk kemiringan dari kedua garis pembentuk sudut tersebut. Misalkan garis l₁ dan l₂ berturut-turut mempunyai sudut inklinasi q₁ dan q₂ dan kemiringan m₁ dan m₂. Misalkan q adalah sudut yang dibentuk oleh garis l₁ dan l₂ seperti pada gambar 1.22. berikut ini.

Gambar 1.22

Dengan menggunakan kenyataan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam lainnya maka diperoleh

q = q₂ – q₁ atau q = 180° + q₂ – q₁ (1)

Persamaan terkhir akan dipenuhi pada posisi relatif l₁ terhadap l₂ seperti pada gambar 1.21 (b).

Dalam kasus lain, berdasarkan rumus trigonometri diperoleh hubungan

tan q = tan (q₂ – q₁) =

(2)

atau tan q =

(3)

Tanda anak panah dalam arah putar berlawanan dengan arah putar jarum jam di atas rumus (3) menandakan bahwa sudut q diukur dari garis l₁ ke l₂ berlawanan arah dengan arah putar jarum jam.

Jika garis-garis adalah sejajar, yaitu m₁ = m₂ maka tan q = 0, dan q = 0° atau 180°. Jika garis-garis tersebut saling tegak lurus maka menurut teorema 1.3 penyebut persamaan (3) menjadi nol, dan oleh karena itu menjadi takberarti. Ini juga tak berarti jika salah satu garis adalah tegak lurus dengan sumbu-x atau sejajar dengan sumbu-y.

Contoh 1:

Tentukan besar sudut-sudut dalam segitiga yang mempunyai titik-titik sudut dengan koordinat A(–4, 2), B(12, –2), dan C(8, 6).

Jawab :

Gambar 1.23

Gambar 1.23 menunjukkan gambar segitiga tersebut. Sudut-sudut yang dicari ditandai dengan anak panah dengan arah berlawanan dengan arah putar jarum jam. Dengan persamaan (3) seksion 1.10 dapat ditemukan

m_AB =

= –

m_AC =

m_BC =

= –2.

Dengan menggunakan rumus (3) seksi ini diperoleh

tan A =

= 0.6364, sehingga A = 32,4712°

tan B =

= 1.1667, sehingga B = 49,3987°

tan C =

= –7, sehingga C = 180° – 81,8699° = 98.1301

Jika dicek A + B + C = 180°

Tangen sudut-sudut dalam segitiga juga dapat dicek tanpa mencari besar sudutnya dengan rumus trigonometri yang lain yaitu

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C.

Dari contoh diatas jika kita ujikan akan diperoleh kesamaan

– 7 =

´( – 7)

atau –

= –

Latihan 1 F:

Paa soal 1 – 8, tentukan kemiringan (jika ada) dan besar sudut inklinasi dari garis yang melalu titik-titik yang diberikan.

1. (2, 3), (5, 8) 5. (–4, 2), (–4, 5)

2. (3, –2), (5, 1) 6. (5, 0), (0, –3)

3. (–3, –2/), (3, 2) 7. (a, a), (b, b), a ¹ b

4. ( 4, 0), (2, 5) 8. (a, a), (–a, 2a), a ¹ 0

Pada soal 9 – 12, tentukan kemiringan (jika ada) dari garis yang melalui dua pasangan titik yang diberikan dan tentukan apakah kedua garis itu sejajar, berimpit, saling tegak lurus, atau yang lain.

9. (1, –2), (–2, –11); (2, 8), (0, 2)

10. (3, 4), (1, –2); (–5, –4), (4, –1)

11. (3, 5), (2, 1); (6, 1), (–2, 3)

12. (3, 7), (–3, –1); (–1, –2), (–5, 1)

13. (1, 1), (4, –1); (–2, 3), (7, –3)

14. (5, 5), (4, –1); (6, 3), (2, –2)

15. (2, 2), (–2, 7); (0, 4), (6, –5)

16. (3, 7), (–3, –1); (–1, –2), (–5, 1)

17. (1,0), (0, –1); (2, 2), (3, 1)

18. Jika sebuah garis melalui (x, 5) dan (4, 3) adalah sejajar dengan garis yang mempunyai kemiringan 3, tentukan x.

19. Jika sebuah garis melalui (x, 4) dan (3, 2) adalah tegak lurus dengan garis yang mempunyai kemiringan 3, tentukan x.

20. Jika sebuah garis melalui (x, 1) dan (0, y) adalah berimpit dengan garis yang melalui (5, –1) dan (–1, 3), tentukan x dan y.

21. Jika sebuah garis melalui (2, 7) dan (0, y) adalah tegak lurus dengan garis yang melalui (1, 3) dan (x, 2), tentukan hubungan antara x dan y.

22. Jika sebuah garis melalui (x, 4) dan (3, 7) adalah sejajar dengan garis yang melalui (x, –1) dan (5, 1), tentukan x.

23. Tentukan kemiringan semua garis tengah dari segitiga yang titik-titik sedutnya mempunyai koordinat (2, 6), (8, 3), dan (–2, –1).

24. Dengan pengertian kemiringan, tunjukkan bahwa titik-titik (1, 1), (4, 1), (3, –2), dan (0, –2) adalah titik-titik dari jajaran genjang.

25. Dengan pengertian kemiringan, tunjukkan bahwa (–2, 4), (2, 0), (2, 8), dan (6, 4) adalah titik-titik dari bujur sangkar.

26. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui (2, 6) dan (4, -1) dan garis yang melalui (5, 2) dan (0, 3).

27. Tentukan sudut-sudut dalam segitiga yang titik-titik sudutnya

(a). (1, 4), (6, 2), (0, –3),

(b). (0, 2), (4, –1), (–2, 3),

(c). (3, 6), (4, –1), (–3, 0),

(d). (1, 2), (3, 6), (7, –1),

(e). (5, 1), (3, –2), (–3, 4),

(f). (–1, 2), (8, 0), (3, 4).

28. Tentukan kemiringan garis yang membentuk sudut dengan garis yang melalui titik (–1, 2) dan (5, 5) dengan sifat

(a). sudut yang dibentuk mempunyai tangen 3/5

(b). sudut yang dibentuk mempunyai tangen –3/5

(c). sudut yang dibentuk berukuran 45°

(d). sudut yang dibentuk berukuran 135°

29. Buktikan bahwa tangen sudut suatu garis yang mempunyai kemiringan m terhadap sumbu-y adalah –1/m.

30. Dua garis berpotongan mempunyai kemiringan berturut-turut m₁ dan m₂. Tunjukkan bahwa garis bagi sudut yang dibentuk oleh kedua garis mempunyai kemiringan